ARGOS seminar on intersections of modular correspondences, Astérisque 312 (2007) の紹介

服部新北大理学研究院 3-601 shin-h@math.sci.hokudai.ac.jp

平成 19 年 10 月 6 日

※ B. H. Gross, K. Keating, On the intersection of modular correspondences, Invent. Math 112 (1993), 225-245 の解説本

1 Statement

φ_{m}(X, Y): modular polynomial

φ_{m}(j(E), j(E′)) = ∏_{[E′_{1}→E′]:isog. of deg=m}(j(E) − j(E′_{1}))

= ∏_{A∈SL_{2}(ℤ)\M_{2}(ℤ):det(A)=m}(j(τ) − j(Aτ′))

∈ ℤ[j, j′]

T_{m} := V (φ_{m}) ⊆ S := 𝔸_{ℤ}^{1} × 𝔸_{ℤ}^{1} ここで, 𝔸_{ℤ}^{1} × 𝔸_{ℤ}^{1} は j-invariant により, elliptic curve のペアを分類する stack の coarse moduli

scheme と思う.

このような divisor 3 つの算術的交点数

(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}}) := log(♯ℤ[j, j′]/(φ_{m_{1}}, φ_{m_{2}}, φ_{m_{3}}))

を考える.

定理 1.1 (主定理 (Gross-Keating)) (i) divisor T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}} が intersect properly ⟺ m_{1}, m_{2}, m_{3} を同時に represent する positive definite binary 二次形式 /ℤ が存在しない.

(ii) このとき, intersection T_{m_{1}} ∩ T_{m_{2}} ∩ T_{m_{3}} は S の閉点からなる次のような有限集合の上にある.

{[E, E′]|p < 4m_{1}m_{2}m_{3}なる素数に対する, 𝔽̄_{p} 上の supersingular elliptic curve のペア}

(iii)

(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}}) = ∑_{p<4m_{1}m_{2}m_{3}} n(p)log(p).

但し

n(p) = \frac{1}{2} ∑_{Q} α_{p}(Q) · ( ∏_{l|Δ(Q),l≠p} β_{l}(Q)).

ここで

• ∑_{Q} は, ℤ 上の positive definite ternary 二次形式 Q で, 対角成分が (m_{1}, m_{2}, m_{3}) であり, かつ任意の l ≠ p に対して Q ⊗_{ℤ} ℚ_{l} が isotropic であるもの全体をわたる和

• α_{p}(Q) は Q ⊗ ℤ_{p} の同型類で決まるある invariant ( 「universal deformation ring における divisor の交点数」 )

• β_{l}(Q) は Q ⊗ ℤ_{l} の (M_{2}(ℤ_{l}), det) に対する local density を normalize したもの

• Δ(Q) は Q の determinant を normalize したもの用語は以下で説明する.

2 quadratic space の用語集

R は (unitary な) 可換整域で, 2 が zero-divisor でないものとする. 定義 2.1 R 上の quadratic space (M, Q) とは, 自由 R-加群 (of rank n) M と map Q : M → R の組で, 次の条件を満たすもの.

• Q(rx) = r^{2}Q(x) (x ∈ M, r ∈ R)

• (x, y) := Q(x + y) − Q(x) − Q(y) が M × M → R: symmetric bilinear map を定める (とく

に (x, x) = 2Q(x)) 注 2.2 • m = 1, 2, 3, 4 のときそれぞれ, unary, binary, ternary, quaternary quadratic space と

いう.

• M の basis x_{1}, …, x_{n} を fix すると,

Q(t_{1}x_{1} + … + t_{n}x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{2}(x_{i}, x_{i})t_{i}^{2} + ∑_{i>j}(x_{i}, x_{j})t_{i}t_{j}

と書ける. とくに (x_{i}, x_{i}) ∈ 2R, (x_{i}, x_{j}) ∈ R.

• B_{Q} = \frac{1}{2}((x_{i}, x_{j}))_{i,j} とおくと,

B_{Q} ∈ Sym_{n}^{∨}(R) := \{(b_{i,j}) ∈ M_{n}(R)| 対称行列で,b_{i,i} ∈ R, b_{i,j} ∈ \frac{1}{2}R\}

• R が標数 ≠ 2 の体なら, (M, Q) には orthogonal basis が存在.

• p ≠ 2 のとき, ℤ_{p} 上の quadratic space にも orthogonal basis が存在することが示せる. p = 2

のときはこれは成立しない (ℚ_{2} 上なら存在する). 定義 2.3 • (M, Q) が non-gedenerate (regular ともいう) とは, det(B_{Q}) ≠ 0 であること. これ

は M → Hom_{R}(M, R) の injectivity と同値.

• (M, Q) が isotropic とは, Q(x) = 0 となる x ≠ 0 が存在すること. このような x が存在しないとき, (M, Q) を anisotropic という.

• (M_{1}, Q_{1}) → (M_{2}, Q_{2}): isometry とは, f : M_{1} → M_{2} : R-linear injection で Q_{2} ∘ f = Q_{1} を満たすもの. surjective な isometry があるとき, これらを同型とか isometric とかと言い, (M_{1}, Q_{1}) ≃ (M_{2}, Q_{2}) で表す.

• det(Q) := det(B_{Q}) mod (R^{×})^{2} ∈ R/(R^{×})^{2} (つまり, basis の取り方の分だけ不定性 (R^{×})^{2} がある).

• Δ(Q) := \frac{1}{2}det((x_{i}, x_{j})) mod (R^{×})^{2} ∈ R/(R^{×})^{2}. つまり, (M, Q) が rank n だとすると, Δ(Q) = 2^{n−1}det(Q).

• (M, Q_{M}), (N, Q_{N}) : quadratic space, に対し

R_{N}(M) := ♯Isometry((M, Q_{M}), (N, Q_{N}))

とおき, N における M の representation number という.

3 local density

(M, Q_{M}), (N, Q_{N}) : ℤ_{p} 上の regular quadratic space, rank=m, n それぞれ basis を取って, 行列 B_{Q_{M}} , B_{Q_{N}} を考える. r ≥ 0 に対し

A_{p^{r}}(M, N) : = ♯{X ∈ M_{n,m}(ℤ_{p}/p^{r}ℤ_{p}) | ^{t}XB_{Q_{N}} X − B_{Q_{M}} ∈ p^{r}Sym_{m}^{∨}(ℤ_{p})}
= ♯{σ : M/p^{r}M → N/p^{r}N | Q_{N}(σ(x)) ≡ Q_{M}(x) mod p^{r}}

とおくと, (p^{r})^{\frac{m(m+1)}{2} −mn}A_{p^{r}}(M, N) は r が十分大で一定値になることが示せる. そこで

α_{p}(M, N) := lim_{r→∞} 2^{−δ_{m,n}}(p^{r})^{\frac{m(m+1)}{2} −mn}A_{p^{r}}(M, N)

とおいて, これを M の N に対する local density と呼ぶ. (主定理に出てきた α_{p}(Q) とは別物)

注 3.1 • この定義は桂田先生の論文のものにあわせてあり, 北岡先生の教科書 (Arithmetic of quadratic forms) での定義とは normalization が異なる. そっちの本では「∈ p^{r}Sym_{m}^{∨}(ℤ_{p})」 (半整数行列) の代わりに「∈ p^{r}(2 · Sym_{m}^{∨}(ℤ_{p}))」 (偶行列) を考えるので, p = 2 のときに少しずれる. つまり,

α_{p}(M, N) = α_{p}^{北岡}(M, N) if p ≠ 2
α_{2}(M, N) = 2^{\frac{m(m+1)}{2}} α_{2}^{北岡}(M, N)

• α_{p}(M, N) ≠ 0 なら, M ↪ N : isometry, が存在することを示すことができる.

定義 3.2 Q を主定理で述べたような ℤ 上の quadratic space とするとき

β_{l}(Q) := \frac{1}{(1 − \frac{1}{l^{2}} )^{2}} · α_{l}(Q ⊗ ℤ_{l}, (M_{2}(ℤ_{l}), det))

4 二次形式の Gross-Keating invariant

ℤ_{p} 上の階数 n の regular quadratic space (M, Q) を考える.

各 basisψ = {ψ_{1}, …, ψ_{n}} に対し, ψ に関する Q の行列表示 B_{Q} = (b_{ij}(ψ))_{ij} を考える. さらに,

S(ψ) := \{(y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℤ^{n} | \begin{matrix}y_{1} ≤ y_{2} ≤ ⋯ ≤ y_{n} \\ \frac{y_{i}+y_{j}}{2} ≤ ord_{p}(b_{ij}(ψ)) \end{matrix} \}
S := ∪_{ψ}S(ψ)

とおく. S には辞書式順序を入れる. つまり,

(y_{1}, …, y_{n}) ≤ (z_{1}, …, z_{n}) ⇔ k を「l < k ならば y_{l} = z_{l}」なる最大の数とするとき, y_{k} ≤ z_{k}

と定める. これによって S は全順序集合となり, (M, Q) の regularity から S には最大元が存在することが簡単に分かる. この最大元 (a_{1}, …, a_{n}) を, (M, Q) の Gross-Keating invariant と呼ぶ.

注 4.1 • p ≠ 2 なら (M, Q) は diagonalizable である. つまり, M の basis ψ_{1}, …, ψ_{n} で,

Q(x_{1}ψ_{1} + ⋯ + x_{n}ψ_{n}) = α_{1}x_{1}^{2} + ⋯ + α_{n}x_{n}^{2}, ord_{p}(α_{1}) ≤ … ≤ ord_{p}(α_{n})

を満たすものが存在. このとき, (M, Q) の Gross-Keating invariant (a_{1}, …, a_{n}) は

a_{i} = ord_{p}(α_{i})

であることが示せる. p = 2 のときは, ℤ_{2} 上 diagonalizable でない quadratic space が存在するので, もう少し微妙になっている.

• 実際は, a_{1} = min_{m∈M} ord_{p}(Q(m)) であることが示せるので, a_{i} ≥ 0.

• n = 3 のとき, a_{1} ≡ a_{2} ≡ a_{3}(2) ならば, (M, Q) は isotropic であることが示せる.

5 主定理の証明の概略

主定理の (i), (ii) は難しくない. modular polynomial が closed fiber 上でも ℂ 上と同様の moduli 解釈を持つことから従う. 以下主定理 (iii) について考える.

主定理の (ii) から, 三つの divisor T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}} が proper に交わっているとき, 問題の交点数は

(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}}) = ∑_{p<4m_{1}m_{2}m_{3}} ∑_{[E,E′]:ss./𝔽̄_{p}}(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}})_{[E,E′]}

と局所交点数の和に分解する.

j_{E} = j(E), j_{E′} = j(E′) ∈ 𝔽̄_{p} とおき, j̃_{E}, j̃_{E′} をそれらの W = W (𝔽̄_{p}) への lift とする. 極大イデアル

(p, j − j̃_{E}, j′ − j̃_{E′}) ⊆ W [[j, j′]]

での W [[j, j′]] の完備化を R_{0} := W [[j − j̃_{E}, j′ − j̃_{E′}]] と書く (S ×_{ℤ} Spec(W) の, 点 (j_{E}, j_{E′}) における完備局所環).

一方, pair (E, E′) の universal deformation ring を R とおき, universal elliptic curve を (𝔼, 𝔼′) とする. 定義からこれは, 関手

((A, m) ： W 上の Artin 局所環, 剰余体 𝔽̄_{p} )

→ (Set)
A ↦ {[(E, i), (E′, i′)]}

を pro-represent する元. ただし, 右辺は次のような集合.

• E は A 上の elliptic curve.

• i : E ×_{A} 𝔽̄_{p} ≅ E は k 上の elliptic curve の同型 (E′, i′ も同様).

• [(E, i), (E′, i′)] はそれらの同型類の組.

elliptic curve は k 上 smooth projective だから, deformation は unobstructed で, E の universal deformation ring は W 上 dim𝔽̄_{p}H^{1}(E, (Ω_{E/𝔽̄_{p}}^{1})^{∨}) = 1 変数の巾級数環と同型. したがって, W -同型 R ≅ W [[t, t′]] が存在.

一方, E の universal deformation ring には次のように σ ∈ Aut(E) が作用している.

σ.[E, i] = [E, σ ∘ i]

ここで, j(𝔼) は constant ではないので, Aut(𝔼) = {±1}. このことから上の作用は, R への群

(Aut(E)/{±1}) × (Aut(E′)/{±1})

の free action を引き起こす.

さらに, S が coarse moduli であることから, (𝔼, 𝔼′)_{/R} は S の R-値点を与える. 従って, W 上の局所環の射

R_{0} → R

を引き起こす. このとき,

命題 5.1 ([Katz-Mazur], 8.2.3) この射は同型

R_{0} ≅ R^{(Aut(E)/{±1})×(Aut(E′)/{±1})}

を与える.

□

従って R_{0} → R は finite であり, どちらも regular local だから flat. そこで,

u_{E} := \frac{1}{2}♯Aut(E), u_{E′} := \frac{1}{2}♯Aut(E′)

とおくと, R は R_{0} 上の階数 u_{E}u_{E′} の自由加群である.

この射で R に移行すると, 局所交点数は

(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}})_{[E,E′]} = log lg_{W} (R_{0}/(φ_{m_{1}}, φ_{m_{2}}, φ_{m_{3}}))

= log(\frac{1}{u_{E}u_{E′}} lg_{W} (R/(φ_{m_{1}}, φ_{m_{2}}, φ_{m_{3}})).

ここで, 次の定理が成立する.

定理 5.2 (定理 A, ARGOS seminar の本の Ch.4, Lemma 4.1) R において φ_{m} は次のように分解する.

φ_{m} = ∏_{f} φ_{m,f}

ただし, 積は

{f : E → E′ | degree=m の isogeny}/±1

を走り, φ_{m,f} は次の性質を満たすある R の元.

「R のイデアル (φ_{m,f}) は, f が R/I 上の isogeny 𝔼 ⊗ R/I → 𝔼′ ⊗ R/I に lift するようなイデアル I の中で最小のもの.」 (こういう最小の I を f の lifting locus という)

□

これを使うと, 局所交点数は次のように分解することが分かる.

(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}})_{[E,E′]} = log ∑_{(f_{1},f_{2},f_{3})} \frac{1}{u_{E}u_{E′}} lg_{W} (R/I),

但し (f_{1}, f_{2}, f_{3}) は集合

∏_{i=1}^{3}({f : E → E′ ： degree m_{i} の isogeny }/{±1})

を走り, I は f_{i} : E → E′ (i = 1, 2, 3) が全て 𝔼 ⊗_{R} R/J → 𝔼′ ⊗_{R} R/J に lift するようなイデアル J のうちの最小のもの.

そこで,

α_{p}(f_{1}, f_{2}, f_{3}) := lg_{W} (R/I)

とおく. また, ℤ 上の quadratic space Q を,

Q(x_{1}, x_{2}, x_{3}) := deg(x_{1}f_{1} + x_{2}f_{2} + x_{3}f_{3})

で定める. これは quadratic space (Hom(E, E′), deg) の sub-quadratic space で, 主定理 (i) から, (三つの divisor が proper に交わっているという仮定により) Q は positive definite な ternary quadratic space になることがわかる.

このとき,

定理 5.3 (定理 B, ARGOS seminar の本の Ch.13, Theorem 1.1) (i) α_{p}(f_{1}, f_{2}, f_{3}) は Q_{p} := Q ⊗ ℤ_{p} の同型類にしかよらない. そこで, これを α_{p}(Q) と書く.

(ii) Q_{p} の Gross-Keating invariant を (a_{1}, a_{2}, a_{3}) とすると, α_{p}(Q) は次の式で与えられる.

• a_{1} ≡ a_{2}(2) のとき,

α_{p}(Q) = ∑_{i=0}^{a_{1}−1}(i + 1)(a_{1} + a_{2} + a_{3} − 3i)p^{i} + ∑_{i=a_{1}}^{\frac{a_{1}+a_{2}−2}{2}}(a_{1} + 1)(2a_{1} + a_{2} + a_{3} − 4i)p^{i}

+ \frac{a_{1} + 1}{2}(a_{3} − a_{2} + 1)p^{\frac{a_{1}+a_{2}}{2}}

• a_{1} ≢ a_{2}(2) のとき,

α_{p}(Q) = ∑_{i=0}^{a_{1}−1}(i + 1)(a_{1} + a_{2} + a_{3} − 3i)p^{i} + ∑_{i=a_{1}}^{\frac{a_{1}+a_{2}−1}{2}}(a_{1} + 1)(2a_{1} + a_{2} + a_{3} − 4i)p^{i}

□

そこで, さっきの和を Q の言葉で書き表すことを考える. ∑_{(f_{1},f_{2},f_{3})} の中に同じ Q が出てくる回数は,

♯{Q → (Hom(E, E′), deg) ： isometry }/{±1} × {±1} × {±1}

= \frac{1}{8}R_{Hom(E,E′)}(Q).

但し R_{Hom(E,E′)}(Q) は Q の Hom(E, E′) における representation number.

ここで, E, E′ は 𝔽̄_{p} 上の supersingular elliptic curve だったので,

Hom(E, E′) ⊗ ℚ_{p} ≅ D_{p} := (ℚ_{p} 上の division quaternion algebra)
Hom(E, E′) ⊗ ℚ_{l} ≅ M_{2}(ℚ_{l}) (l ≠ p)

が成立. したがって, Q ⊗ ℚ_{p} が anisotropic かつ Q ⊗ ℚ_{l} が isotropic でないと, R_{Hom(E,E′)}(Q) = 0 となる. さらに, Q の定義から Q の対角成分 diag(Q) は (m_{1}, m_{2}, m_{3}) と一致していなければならない. つまり

(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}}) = ∑_{p<4m_{1}m_{2}m_{3}} log(p) · \frac{1}{8} ∑_{[E,E′]_{/𝔽̄p}:ss.} ∑_{Q} α_{p}(Q)\frac{R_{Hom(E,E′)}(Q)}{u_{E}u_{E′}}.

但し ∑_{Q} は,

ℤ 上の positive definite な ternary quadratic space Q で, Q ⊗ ℚ_{p} が anisotropic, l ≠ p に対しては Q ⊗ ℚ_{l} が isotropic かつ,

diag(Q) = (m_{1}, m_{2}, m_{3}) なるもの

をわたる和.

従って, 次の定理から主定理の (iii) が従う.

定理 5.4 (定理 C, ARGOS seminar の本の Ch.5, Corollary 4.4) 上のような Q に対し,

∑_{[E,E′]_{/𝔽̄p}:ss.} \frac{R_{Hom(E,E′)}(Q)}{u_{E}u_{E′}} = 4 ∏_{l|Δ(Q),l≠p} β_{l}(Q).

□

注 5.5 定理 A, B, C の証明の大筋について延べる.

• 定理 A は難しくない. 1-次元 formal group の deformation theory の帰結 (E の原点における formal completion Ê が height 2 の formal group だから, dim𝔽̄_{p}(H^{2}(Ê, 𝔽̄_{p})) = 1 となる. このことから lifting locus が divisor であることが従う).

• 定理 C は geometric な部分であり, classical. D を {p, ∞} で分岐する ℚ 上の quaternion algebra, O_{D} を適当な maximal order とすると, 全単射

(𝔽̄_{p} 上の supersingular elliptic curve の同型類)≅ D^{×} \ (D ⊗ 𝔸_{f})^{×}/(O_{D} ⊗ ℤ̂)^{×}
≅ (O_{D} の右イデアル類群)

が存在する. また, O_{D} の, D の ℤ-lattice としての SO(D)(𝔸_{f})-orbit (i.e. O_{D} の genus) を考えると, その SO(D)(ℚ)-同値類 (i.e. O_{D} の proper class) は全て 𝔽̄_{p} 上の supersingular elliptic curve E, E′ に対する Hom(E, E′) で代表される (これは D の ℤ-lattice と見なせる). さらにこのとき, u_{E}u_{E′} と ♯SO(Hom(E, E′)) はほぼ等しい. これらのことから, 次の等式を証明できる.

∑_{[E,E′]_{/𝔽̄p}:ss.} \frac{R_{Hom(E,E′)}(Q)}{u_{E}u_{E′}} = 4 ∑_{[L]} \frac{R_{L}(Q)}{♯SO(L)},

但し [L] は上のような各 SO(D)(ℚ)-同値類を動く. 右辺の和は, quadratic space の lattice の representation number に関する Minkowski-Siegel の公式から, local density の積で書ける.

• 定理 B が arithmetic な部分であり, 一番難しい. 結局 R 上のこのような局所交点数を求めることは, 次のような問題に帰着される.

– Frac(W) の有限次拡大 M′ の整数環 A′ 上に, G = Ê の formal group としての lift F′ で, End_{A′}(F′) が ℚ_{p} の二次拡大 L の order O_{s} であるようなもの, が与えられたとする. π′ を A′ の素元, A′_{n} := A′/(π′)^{n+1} とおく. このとき, f ∈ End𝔽̄_{p}(G) = O_{D_{p}} が isogeny F′ ⊗ A′_{n} → F′ ⊗ A′_{n} に lift するような最大の n を求めること.

Π を O_{D_{p}} の素元とし, 次のような filtration を考える.

End_{A′}(F′) = O_{s} ⊆ ⋯ ⊆ O_{s} + Π^{l}O_{D_{p}} ⊆ O_{s} + Π^{l−1}O_{D_{p}} ⊆ ⋯ ⊆ O_{D_{p}} = End𝔽̄_{p}(G)

Keating の lifting theorem (Compositio Math. 67 (1988) 211-239, ARGOS seminar の本の Ch. 11, Theorem 2.1) によると, f ∈ End𝔽̄_{p}(G) がこの filtration のどの段階に入っているかで, f がどの A′_{n} まで lift できるかが決まる. 属している filtration の位置は, 考えている Q の Gross-Keating invariant で表すことができるため, 定理 B が従う.

6 Siegel Eisenstein 級数のフーリエ係数との関係

weight 2 の Siegel Eisenstein 級数

E(τ, s) := det(y)^{\frac{s}{2}} ∑_{(c,d)} det(cτ + d)^{−2}| det(cτ + d)|^{−s}

を考える. 但し,

τ ∈ 𝔥_{3} := {τ = x + iy ∈ Sym_{3}(ℂ) | x, y ∈ M_{3}(ℝ), y は positive definite}

を Siegel 上半空間の元, (c, d) は

\{(\begin{matrix}∗ & ∗ \\ 0 & ∗ \end{matrix})\} \ Sp_{6}(ℤ) = \{g ∈ GL_{6}(ℤ) | g (\begin{matrix}0 & 1_{3} \\ −1_{3} & 0 \end{matrix})^{t}g = (\begin{matrix}0 & 1_{3} \\ −1_{3} & 0 \end{matrix})\}

の代表元 (\begin{matrix}1_{3} & 0 \\ c & d \end{matrix}) を動くものとする. E(τ, s) は Fourier 展開

E(τ, s) = ∑_{T ∈Sym_{3}^{∨}(ℤ)} c(T, y, s)q^{T} ,

但し τ = x + iy ∈ 𝔥_{3}, q^{T} := exp(2πiTr(T τ), を持つ.

定理 6.1 (Kudla, ARGOS seminar の本の Ch.16, Theorem 2.2, Corollary 2.3) ある定数 κ ∈ ℝ が存在して, 主定理 (i) の条件を満たす m_{1}, m_{2}, m_{3} に対し,

(T_{m_{1}}, T_{m_{2}}, T_{m_{3}}) = κ ∑_{T} c′(T)

が成立. ここで, ∑_{T} は T ∈ Sym_{3}^{∨}(ℤ) で, positive definite かつ対角成分=(m_{1}, m_{2}, m_{3}) であるもの全体を動き,

c′(T) = (\frac{∂}{∂s}c(T, y, s))|_{s=0}

で, これは y によらない.

証明の背景. H を ℤ_{l} 上の hyperbolic plane とする. つまり, ℤ_{l} 上の binary quadratic space で, Q(x, y) = xy で定まるもの. このとき, H^{2} ≅ (M_{2}(ℤ_{l}), det) となる.

ℤ_{l} 上の ternary quadratic space Q_{l} に対し, 多項式 f_{Q_{l}}(T) ∈ ℚ[T] で,

f_{Q_{l}}(l^{−r}) = α_{l}(Q_{l}, H^{2+r})

を満たすものの存在が知られている. さらに,

F̃_{Q_{l}}(T) := \frac{f_{Q_{l}}(T)}{(1 − l^{−2}T)(1 − l^{−2}X^{2})}

とおく. 定義から,

β_{l}(Q) = F̃_{Q_{l}}(1)

である. ここで, F̃_{Q_{l}}(T) は Q の不変量を使って具体的に計算することが出来る (Katsurada, Amer. J. Math. 121 (1999) 415-452).

この結果を使って, ℤ_{p} 上の regular ternary quadratic space (M, Q_{p}) に対し

−(\frac{d}{dT} F̃_{Q_{p}}(T))|_{T =1}

を計算すると, これが定理 B で求めた α_{p}(Q_{p}) と一致する (!!) ことが確かめられる. つまり

α_{p}(Q_{p}) = −(\frac{d}{dT} F̃_{Q_{p}}(T))|_{T =1}.

従って問題の交点数は, 各素数 l に対する F̃_{Q_{l}}(T) たちの T = 1 での値と微分の値で書くことが出来る. このような F̃_{Q_{l}}(T) が Siegel Eisenstein 級数のフーリエ係数と結び付くことは前から知られていたので, 右辺と左辺が結び付く.

7 Theorem D の Statement: local density の計算

定理 7.1 (i) Q: ℤ_{p} 上の regular, anisotropic ternary 二次形式, D_{p}: ℚ_{p} 上の quaternion division algebra, Nrd を reduced norm とすると,

α_{p}(Q, (O_{D_{p}}, Nrd)) = 2(p + 1)(1 + \frac{1}{p})

(ii) T: ℤ_{p} 上の regular, isotropic ternary 二次形式, (a_{1}, a_{2}, a_{3}): T の Gross-Keating invariant とすると,

• a_{1} ≢ a_{2} mod 2 なら,

β_{p}(T) = 2( ∑_{i=0}^{a_{1}−1}(i + 1)p^{i} + ∑_{i=a_{1}}^{\frac{1}{2} (a_{1}+a_{2}−1)}(a_{1} + 1)p^{i}).

• a_{1} ≡ a_{2} mod 2 のときは, ξ̃を次のように定める.

– p ≠ 2 の場合は, T の orthogonal basis {ψ_{1}, ψ_{2}, ψ_{3}} で T (ψ_{i}) = u_{i}p^{a_{i}} なるものを取るとき, ξ̃:= (\frac{−u_{1}u_{2}}{p}).

– p = 2 の場合は, 上のような T の各同型類ごとに適当に ξ̃ ∈ {±1} を定義する. すると,

– ξ̃ = 1 のとき,

β_{p}(T) = 2( ∑_{i=0}^{a_{1}−1}(i + 1)p^{i} + ∑_{i=a_{1}}^{\frac{1}{2} (a_{1}+a_{2}−2)}(a_{1} + 1)p^{i}) + (a_{1} + 1)(a_{3} − a_{2} + 1)p^{\frac{a_{1}+a_{2}}{2}} .

– ξ̃ = −1 のとき,

β_{p}(T) = 2( ∑_{i=0}^{a_{1}−1}(i + 1)p^{i} + ∑_{i=a_{1}}^{\frac{1}{2} (a_{1}+a_{2}−2)}(a_{1} + 1)p^{i}) + (a_{1} + 1)p^{\frac{a_{1}+a_{2}}{2}} .

8 Hilbert symbol

定義 8.1 a, b ∈ ℚ_{p}^{×} に対し, a = up^{m}, b = vp^{n} (u, v ∈ ℤ_{p}^{×}) と書くとき, Hilbert symbol (a, b)_{p} を次のように定める.

• p ≠ 2 のとき.

(a, b)_{p} := (−1)^{mn· \frac{p−1}{2}} (\frac{u}{p})^{n}(\frac{v}{p})^{m},

但し (\frac{u}{p}) は平方剰余記号 (とくに a, b ∈ ℤ_{p}^{×} なら (a, b)_{p} = 1 に注意).

• p = 2 のとき.

(a, b)_{2} := (−1)^{ϵ(u)ϵ(v)+nω(u)+mω(v)},

但し ϵ(u) := \frac{u−1}{2}, ω(u) := \frac{u^{2}−1}{8}.

命題 8.2 Q(X_{1}f_{1} + ⋯ + X_{n}f_{n}) = a_{1}X_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}X_{n}^{2} を ℚ_{p} 上の regular quadratic space とし, d = a_{1} ⋯ a_{n},

ϵ_{p} = ∏_{i>j}(a_{i}, a_{j})_{p}

とおく. このとき, Q が isotropic であるための必要十分条件は, 以下のいずれかが成立すること. (i) n = 2 かつ −d ∈ (ℚ_{p}^{×})^{2} (ii) n = 3 かつ (−1, −d)_{p} = ϵ_{p} (iii) n = 4 かつ「d ∉ (ℚ_{p}^{×})^{2} または ϵ_{p} = (−1, −1)_{p}」 (iv) n ≥ 5