ARGOS seminar on intersections of modular correspondences, Astérisque 312 (2007) の紹介 (2)

服部新北大理学研究院 3-601 shin-h@math.sci.hokudai.ac.jp

平成 19 年 10 月 19 日

※ B. H. Gross, K. Keating, On the intersection of modular correspondences, Invent. Math 112 (1993), 225-245 の解説本

1 今回示したこと

定理 1.1 (定理 C) p を素数, Q を ℤ 上の positive definite ternary quadratic space で,

• Q ⊗_{ℤ} ℤ_{p} は anisotropic

• 任意の素数 l ≠ p に対し, Q ⊗_{ℤ} ℤ_{l} は isotropic

とすると,

∑_{[E,E′]:supersingular/𝔽̄_{p}} \frac{R_{Hom(E,E′)}(Q)}{u_{E}u_{E′}} = 4 ∏_{l|Δ(Q),l≠p} β_{l}(Q)

ただし u_{E} = \frac{1}{2}♯Aut(E).

証明の概略. D を {p, ∞} で分岐する ℚ 上の quaternion algebra, O_{D} をその (任意の)maximal order とする. 𝔽̄_{p} 上の supersingular elliptic curve の同型類全体は

D \ (D ⊗ 𝔸_{f})^{×}/(O_{D} ⊗ ℤ̂)^{×}

と同一視できる. O_{D} の genus の各 proper class は, 適当な supersingular elliptic curve E, E′ を取ると, Hom(E, E′) の形の lattce で代表される. 同じ proper class を定めるペアの同型類 [E, E′] は E, E′ が 𝔽_{p} 上定義されているときは 1 個, そうでないときは 2 個ある. また,

♯SO((Hom(E, E′), deg)) = \{ \begin{matrix}♯Aut(E)♯Aut(E′) & if E, E′ が 𝔽_{p} 上 defined \\ \frac{1}{2}♯Aut(E)♯Aut(E′) & otherwise \end{matrix} .

が示せる. これらを使って定理の左辺を書き直すと

∑_{[E,E′]:supersingular/𝔽̄_{p}} \frac{R_{Hom(E,E′)}(Q)}{u_{E}u_{E′}} = ∑_{[L]∈proper classin gen(O_{D})} 4\frac{R_{L}(Q)}{♯SO(L)}

を得るので, Minkowski-Siegel の公式を適用すれば主張が従う.

2 quadratic space の用語集 (2)

• 一般に, (M, Q) を R 上の quadratic space とするとき,

O(M, Q) := {g : (M, Q) → (M, Q) | isometry}
SO(M, Q) := {g ∈ O(M, Q) | det(g) = 1}

とおく (誤解のない場合は Q は略す). g ∈ O(M, Q) のとき, M の basis を取って行列表示すると,

tgB_{Q}g = B_{Q}

から det(g)^{2} = 1 を得る.

• ℚ 上の quadratic space (V, Q) に対し, V の ℤ-lattice とは, V の部分 ℤ-加群 Λ で ℚ 上 V を生成するもののこと (つまり, こう書いた場合は, Q が Λ を保つことは仮定しない). 一方, V の Q を保つ ℤ-lattice と言った場合は, Q(Λ) ⊆ ℤ も仮定することにする.

• 定義から,

O(V ⊗ 𝔸_{f}) = {g = (g_{l})_{l} ∈ GL(V ⊗ 𝔸_{f}) | ∀g_{l} ∈ O(V ⊗ ℚ_{l})}.

• g = (g_{l})_{l} ∈ GL(V ⊗ 𝔸_{f}) は V の ℤ-lattice 全体のなす集合に,

g(Λ) := ⋂_{l<∞} V ∩ g_{l}(Λ_{l})

で作用する. この作用での Λ の O(V ⊗ 𝔸_{f})-orbit を Λ の genus といい, gen(Λ) で表す.

注 2.1 実際は, SO(V ⊗ 𝔸_{f})-orbit と同じになることが示せる (各素点 l で, τ_{l} ∈ O(V ⊗ ℚ_{l}) で det(τ_{l}) = −1 となる元 (折り返し写像) を作れるので).

• Λ の O(V)-orbit を Λ の class, Λ の SO(V)-orbit を Λ の proper class という.

• Λ と Λ′ が同じ class/proper class に入っているとき, Λ と Λ′ は equivalent/proper equivalent であるという.

• Λ の genus の中には有限個の proper class しかないことが示せる.

• 完全系列

1 → SO(V) → O(V) →^{det} {±1}

から, 各 class は高々2 つの proper class の disjoint union であることがわかる. •

O(Λ) := {g ∈ O(V) | g(Λ) ⊆ Λ}
SO(Λ) := {g ∈ SO(V) | g(Λ) ⊆ Λ}

とおく. このとき, Λ の proper class と class が一致 ⟺ SO(Λ) ≠ O(Λ).

• Λ を V の Q を保つ ℤ-lattice とする. このとき, g ∈ O(V ⊗ 𝔸_{f}) なら, lattice gΛ も Q を保つ.

3 Minkowski-Siegel の公式

M, N を ℤ 上の positive definite quadratic space で rank= m, n のものとする.

w(N) := \frac{1}{2} ∑_{N′:proper class∈gen(N)} \frac{1}{♯SO(N′)},
m(M, N) := \frac{1}{2w(N)} ∑_{N′:proper class∈gen(N)} \frac{R_{N′}(M)}{♯SO(N′)}
ϵ_{m,n} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} & if n = m + 1 または n = m > 1 \\ 1 & otherwise \end{matrix}
α_{∞}(M, N) := π^{\frac{1}{4} m(2n−m+1)}( ∏_{i=0}^{m−1} Γ(\frac{n − i}{2})^{−1})(det(N))^{\frac{−m}{2}} (det(M))^{\frac{n−m−1}{2}}

とおく. このとき,

m(M, N) = ϵ_{m,n}2^{− \frac{m(m−1)}{2}} α_{∞}(M, N) ∏_{l} α_{l}(M, N)

が成立.

4 supersingular elliptic curve

素数 p を fix. l を素数, W = W (𝔽̄_{p}), σ を W 上の Frobenius とする. 以下 E,E′ などを 𝔽̄_{p} 上の supersingular elliptic curve とする.

• l ≠ p に対し, T_{l}(E) := \underleftarrow{lim}_{n} E[l^{n}](𝔽̄_{p}) : l-進 Tate 加群 (≃ ℤ_{l}^{2})

• T_{p}(E) := D_{∗}(E[p^{∞}]) : E の p-divisible 群 E[p^{∞}] の covariant Dieudonné 加群 (≃ W^{2})

– T_{p}(E) には σ-semilinear map Φ が付随している (Dieudonné 加群の「Frobenius」 . だが, 今は covariant Dieudonné 理論を考えているので, Φ は E[p^{∞}] の Verschiebung V に対応している. Dieudonné 加群の「Vershibung」 Ψ (E[p^{∞}] の Frobenius F に対応) の方は, T_{p}(E) が W -自由加群であり ΦΨ = ΨΦ = p であることから Ψ の情報を Φ から復元できるため, 考える必要はない)

• Φ は条件 pT_{p}(E) ⊊ Φ(T_{p}(E)) ⊊ T_{p}(E) を満たす (Φ(T_{p}(E)) = T_{p}(E) なら Φ が同型, ゆえ V が同型. pT_{p}(E) = Φ(T_{p}(E)) なら Ψ が同型, ゆえ F が同型. どちらも supersinglar に反す

る). さらに, T_{p}(E) の basis e_{0}, e_{1} を適当に取ると, Φ(e_{0}, e_{1}) = (e_{0}, e_{1}) (\begin{matrix}0 & p \\ 1 & 0 \end{matrix}) と書けるこ

ともわかる.

• V_{p}(E) = ℚ_{p} ⊗ T_{p}(E) にも Φ(と Ψ) を延長させて考える. L ⊆ V_{p}(E): ℤ_{p}-lattice で, 条件 pL ⊊ Φ(L) ⊊ L を満たすものを考える. このとき, L の basis e′_{0}, e′_{1} を適当に取ると,

Φ(e′_{0}, e′_{1}) = (e′_{0}, e′_{1}) (\begin{matrix}0 & p \\ 1 & 0 \end{matrix}) と書けることがわかる.

• これらの Tate 加群に対し,

Hom(T_{l}(E), T_{l}(E′)) := Hom_{ℤ_{l}}(T_{l}(E), T_{l}(E′)) if l ≠ p
Hom(T_{p}(E), T_{p}(E′)) := Hom_{ℤ_{p},Φ}(T_{p}(E), T_{p}(E′))

と定める. End や Aut も同様. (Ψ との可換性は, Φ との可換性から自動的に出るので, 考えなくて良い)

• このとき,

End(T_{l}(E)) := \{ \begin{matrix}End_{ℤ_{l}}(T_{l}(E)) ≃ M_{2}(ℤ_{l}) & if l ≠ p \\ End_{ℤ_{p},Φ}(T_{p}(E)) ≃ O_{D_{p}} \end{matrix} ,

但し D_{p} は ℚ_{p} 上の division quaternion algebra で, O_{D_{p}} はその (unique) maximal order.

– 証明. g = (\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}) が Φ = (\begin{matrix}0 & p \\ 1 & 0 \end{matrix}) と可換になることは, g = (\begin{matrix}x & pz^{σ} \\ z & x^{σ} \end{matrix}), 但し

x, z ∈ W (𝔽_{p^{2}}), と書けることと同値. このような g 全体のなす ℤ_{p}-algebra を R と書くと, g ∈ R に対し det(g) = xx^{σ} − pzz^{σ} で, W (𝔽_{p^{2}}) は不分岐だから det(g) ≠ 0 である. このことから, D_{p} = R ⊗ ℚ_{p} は ℚ_{p} 上の division quaternion algebra で, reduced norm が det で与えられることがわかる. R は不分岐二次拡大の整数環と D_{p} の素元 (=Nrd の

付値が 1 になる元, たとえば (\begin{matrix}0 & p \\ 1 & 0 \end{matrix})) を含むから, maximal order O_{D_{p}} と一致.

• 全ての supersingular elliptic curve/𝔽̄_{p} は isogenous であることが知られている (Tate の定理の帰結).

• したがって, ℚ ⊗ Hom(E, E′) ≃ ℚ ⊗ End(E) であり, 右辺は ℚ 上階数 4 だったので, 同型

ℤ_{l} ⊗ Hom(E, E′) ≃ Hom(T_{l}(E), T_{l}(E′)) for ∀l

を得る.

• これと右辺の local description から, ℚ ⊗ End(E) は {p, ∞} で分岐する ℚ 上の quaternion algebra D で, End(E) はその maximal order O_{D} になっていることがわかる.

– Weil pairing から, 上の同型は deg を Nrd に移すことがわかる. 二次形式の近似定理から, (End(E), deg) と (O_{D}, Nrd) が同一視できることもわかる.

• ∀l に対し, V_{l}(E) := ℚ_{l} ⊗ T_{l}(E) とおく. これは ℚ_{l} 上階数 2 の自由加群.

さらに,

T^{p}(E) := ∏_{l≠p} T_{l}(E),
V^{p}(E) := ℚ ⊗ T^{p}(E),
T_{f}(E) := T^{p}(E) × T_{p}(E),
V_{f}(E) := V^{p}(E) × V_{p}(E)

とおく. これらはそれぞれ, ℤ̂^{p}, 𝔸_{f}^{p} = ℚ ⊗ ℤ̂^{p}, ℤ̂^{p} × W, 𝔸_{f}^{p} × Frac(W) 上階数 2 の自由加群.