ARGOS seminar on intersections of modular correspondences, Astérisque 312 (2007) の紹介 (3)

服部新北大理学研究院 3-601 shin-h@math.sci.hokudai.ac.jp

平成 19 年 11 月 9 日

※ B. H. Gross, K. Keating, On the intersection of modular correspondences, Invent. Math 112 (1993), 225-245 の解説本

1 今回証明すること

V.G.Drinfel’d: Elliptic modules (Russian) Mat. Sbornik 94(136) (1974), 594–627, の復習.

(i) K を ℚ_{p} の有限次拡大とすると, formal O_{K}-module の universal ring は O_{K} 上の無限変数の多項式環と同型.

(ii) formal O_{K}-module の deformation theory. (R, m, k) を Artin 局所環, I ⊆ R: mI = 0 なるイデアル, F_{0} を k 上の formal O_{K}-module で height=h < ∞ なるもの, F̄, Ḡ を F_{0} の formal O_{K}-module としての R/I への lift, とするとき,

F̄ や, formal O_{K}-module の準同型 F̄ → Ḡ が R へ lift するかどうかは, ある種のコホモロジー群 H^{2}(F_{0}, I) で判定できる.

(iii) (F_{0} の universal deformation ring) ≃ Ô_{K^{nr}}[[t_{1}, …, t_{h−1}]]

2 Formal group の用語集

参考文献:

[F] A. Fröhlich: Formal groups, LNM 74

[H] M. Hazewinkel: Formal groups and applications, Pure and Applied Mathematics 78, Academic Press

[岩澤] 岩澤健吉: 局所類体論, 岩波

[SGA3] SGA3 の tome 1, Exp. VIIB, LNM 151

2.1 formal group

R を可換環とする.

F (X, Y) ∈ R[[X, Y]] が (1-dimensional, commutative, formally smooth) formal group であるとは, 次の 3 条件を満たすこと.

• F (X, 0) = X, F (0, Y) = Y. とくに, F (X, Y) = X + Y + (higher order).

• F (X, F (Y, Z)) = F (F (X, Y), Z). (群の結合法則)

• F (X, Y) = F (Y, X). (可換性) 注 2.1 このとき, F (X, i(X)) = F (i(X), X) = X を満たす i(X) = −X + (higher order) ∈ R[[X]] の存在が示せる (群の逆元). 注 2.2 (A, m_{A}) を R 上の完備局所環とすると,

x, y ∈ m_{A} ⇒ x+_{F} y := F (x, y)

で m_{A} に 0 を単位元とする群構造が入る. この群を F (m_{A}) と書いたりする. 例 2.3 • 𝔾̂_{a,R}: F (X, Y) = X + Y, i(X) = −X

• 𝔾̂_{m,R}: F (X, Y) = X + Y + XY = (1 + X)(1 + Y) − 1, i(X) = \frac{1}{1+X} − 1

• E を R 上の elliptic curve とするとき, 原点での formal completion Ê_{R} F (X, Y),G(X, Y) を R 上の formal group とするとき, formal group の準同型 f : F → G とは,

f(X) ∈ R[[X]]^{0} (定数項が 0 であるような巾級数全体) で

f(F (X, Y)) = G(f(X), f(Y))

を満たすもののこと. 注 2.4 これは (A, m_{A}): R 上の完備局所環, に対しては, 群準同型 F (m_{A}) → G(m_{A}) を定める. 例 2.5 • F: R 上の formal group, に対し,

[1](X) := X, [m + 1](X) := F (X, [m](X))

で [m](X) ∈ End_{R}(F) を定める (m 倍写像).

• G: 𝔽_{q} 上の formal group, に対し

F_{q}(X) := X^{q}

は F_{q} ∈ End_{𝔽_{q}}(G) を定める (q 乗 Frobenius 写像). 一般に, f(X) ∈ R[[X]]^{0} が f′(0) ∈ R^{×} を満たせば, g(X) ∈ R[[X]]^{0} で f(g(X)) = g(f(X)) = X

を満たすものが存在する. この g を f^{−1} と書く. f が formal group の hom f : F → G のときは,f^{−1} も formal group の hom f^{−1} : G → F を定める (f の逆写像).

f : F → G で f′(0) = 1 を満たすものを strict isomorphism と言うことがある.

命題 2.6 ([F], p.67, Theorem 2) R 上の formal group F が 𝔾̂_{a,R} と同型 ⇔ 任意の素数 p に対し [p](X) ∈ pR[[X]].

命題 2.7 ([F], p.97, Corollary 1–3) R が整域で, Frac(R) が標数 0 の体であるようなものとする. F, G を R 上の formal group とするとき,

\xymatrix{Hom_{R}(F, G) \ar[r]^{Lie} & R}

は単射. とくに End_{R}(F) は可換環.

命題 2.8 ([F], p. 106) K を標数 0 の体, R ⊆ K を整閉な部分環, F, G を R 上の formal group, f : F → G を, K̄ における R の整閉包上 defined な hom とすると, f は K(f′(0)) における R の整閉包上 defined.

2.2 formal O_{K}-module

一般に, O: 可換環, R: O-algebra, i : O → R: 構造射, とするとき,

定義 2.9 formal O-module とは次のようなペア (H, γ_{H}) のこと.

• H = H(X, Y) ∈ R[[X, Y]]: R 上の formal group

• γ_{H} : O → End_{R}(H): ring hom で, 次の図式を可換にするもの (H への O-作用).

\xymatrix{O \ar[dr]_{i} \ar[r]^{γ_{H}} & End_{R}(H) \ar[d]^{Lie} \\  & R}

但し, Lie : End_{R}(H) → R は f ↦ f′(0) で定まる射.

a ∈ O に対し, γ_{H}(a) のことを [a]_{H} と書いたりする.

注 2.10 (A, m_{A}): R 上の完備局所環, とすると,

x ∈ H(m_{A}) ⇒ a.x := [a]_{H}(x)

により, H(m_{A}) は O-加群と見なせる.

F, G: R 上の formal O-module, のとき, f : F → G が formal O-module としての準同型であるとは, f が formal group の準同型でありかつ O-作用と両立すること. つまり, 任意の a ∈ O に対し次が成り立つこととする.

f([a]_{F} (X)) = [a]_{G}(f(X))

例 2.11 • 𝔾̂_{a,R} への O-作用を

[a](X) := aX

で定めると, これは formal O-module になる. これを additive O-module と呼ぶ.

• R が p-進完備な環であれば, R 上の formal group には自然に formal ℤ_{p}-module の構造が入る ([p^{n}](X) が n → ∞ で 0 に収束するから).

K/ℚ_{p}: 有限次拡大, π = π_{K}: 素元, O_{K}/π ≃ 𝔽_{q}, q = p^{f}, とおいて, formal O_{K}-module を主に考えることにする.

F, G が R 上の formal O_{K}-module のとき, Hom_{R}(F, G) で formal O_{K}-module としての hom 全体を表すことにする.

2.3 height

k を標数 p の体, F を k 上の formal group とすると, ある α(X) ∈ k[[X]], α′(0) ≠ 0, が存在して,

[p]_{F} (X) = α(X^{p^{h}})

を満たすことが示せる (h = ∞ でもよい). この h を F の height という.

同様に, H を k 上の formal O_{K}-module とすると, ある β(X) ∈ k[[X]], β′(0) ≠ 0 が存在して

[π]_{H}(X) = β(X^{q^{h}})

を満たすことも示せる. この h を H の (formal O_{K}-module としての) height と呼ぶ. 定義から,

(H の formal O_{K}-module としての height)= [K : ℚ_{p}] × (H の formal group としての height).

2.4 isogeny

f : F → G: R 上の formal group の準同型, が isogeny であるとは, 対応する affine 環の射 R[[X]] → R[[X]] が finite locally free であること.

注 2.12 R = (R, m, k) が完備 Noether 局所環の場合は, これは f_{k} : F ⊗ k → G ⊗ k が nonzero であることと同値 (flatness の local criterion). さらに, F ⊗ k, G ⊗ k がともに finite height のときは, この条件は α ≠ 0 とも同値なことをセミナー中に示す.

3 Lubin-Tate theory

参考文献:

[岩澤] 岩澤健吉: 局所類体論, 岩波

k = 𝔽̄_{p}, M = K^{nr}, C := ˆ K̄ とおく.

K の素元 π に対し,

F_{π,h} := \{f(X) ∈ O_{K}[[X]] | \begin{matrix}f(X) = πX + (higher order) \\ f(X) ≡ X^{q^{h}} mod π \end{matrix} \}

と定義する. また, F_{π} = F_{π,1} おく.

命題 3.1 ([岩澤], 第 7 章補題 1–3 の証明) (i) f ∈ F_{π,h} に対し, O_{K} 上の formal O_{K}-module F_{f} で, [π]_{F_{f}} (X) = f(X) を満たすものが unique に存在.

(ii) f, g ∈ F_{π,h} なら, F_{f} と F_{g} とは O_{K} 上の formal O_{K} として同型.

この F_{f} を, f に対応する Lubin-Tate formal group と言うことにする. f ∈ F_{π} のときは, F_{f} のことを π に対応する Lubin-Tate formal group と言う.

命題 3.2 ([岩澤], 第 7 章補題 4–5) π′ を K の別の素元とし, f ∈ F_{π}, f′ ∈ F_{π′} とするとき, F_{f} と F_{f′} とは O_{M} 上の formal O_{K}-module として同型.

以下, f ∈ F_{π} を fix して, O_{M} 上の formal O_{K}-module F_{f} を考える. これに対し,

Λ := ∪_{m}F_{f}(O_{C})[π^{m}]
L_{π,m} := K(F_{f}(O_{C})[π^{m}])
L_{π} := ∪_{m}L_{π,m}
G_{π} := Gal(L_{π}/K)

とおく. F_{π} の定義から, F_{f}(O_{C})[π^{m}] = {x ∈ OK̄ | [π^{m}](x) = 0} は位数 q^{m} の有限加群で, Gal(K̄/K) が作用している. したがって L_{π,m} は K 上 (完全分岐な) 有限次 Galois 拡大.

命題 3.3 ([岩澤], 第 7 章 §7.3) • O_{K}-加群として Λ ≃ K/O_{K}, F_{f}(O_{C})[π^{m}] ≃ O_{K}/π^{m}.

• 任意の τ ∈ G_{π} に対し, 次を満たす u_{τ} ∈ O_{K}^{×} が unique に存在.

任意の λ ∈ Λ に対し, τ(λ) = [u_{τ}](λ).

• 対応 τ ↦ u_{τ} は, 同型 G_{π} ≃ O_{K}^{×} を定める. さらに, この対応は Gal(L_{π}/L_{π,m}) を 1 + π^{m}O_{K} の上に移す.

• L_{π}K^{nr} は K の最大 Abel 拡大であり, ρ_{K} : K^{×} → Gal(K^{ab}/K) を局所類体論の reciprocity map (ただし, π を (arithmetic) Frobenius に送るように normalize する) とすると, λ ∈ Λ への action は次を満たす.

a ∈ O_{K}^{×} なら, ρ_{K}(a)(λ) = [a^{−1}](λ).
ρ_{K}(π) は L_{π} には trivial に, K^{nr} には Frobenius で作用.