ARGOS seminar on intersections of modular correspondences, Astérisque 312 (2007) の紹介 (6)

服部新北大理学研究院 3-601 shin-h@math.sci.hokudai.ac.jp

平成 19 年 12 月 8 日

※ B. H. Gross, K.Keating, On the intersection of modular correspondences, Invent. Math 112 (1993), 225-245 の解説本

1 今回証明すること

K. Keating: Lifting endomorphisms of formal A-modules, Compositio Math. 67 (1988) 211– 239, の紹介

K/ℚ_{p} ：有限次拡大, 素元 π = π_{K}, 剰余体 𝔽_{q} L/K ：二次拡大, 相対分岐指数 e = e(L/K) O_{s} := O_{K} + π^{s}O_{L} ： O_{L} の中の, conductor=s の order k := 𝔽̄_{q}, W := W (k) G ： k 上の height=2 の formal O_{K}-module (同型を除いて unique) O_{D} := End_{k}(G). これは K 上の division quaternion algebra D の maximal order. Π_{D} ： D の素元 κ : L → D ： K-algebra の埋め込み, をひとつ fix する. r_{κ} ： reduction map O_{L} →^{κ} O_{D} = End_{k}(G) →^{Lie} k (以下では省略して書く) A := Ô_{L^{nr}}, M := Frac(A) M_{s} ：局所類体論で O_{s}^{×} ⊆ O_{L}^{×} に対応する M の有限次 Abel 拡大 A′ := O_{M_{s}}, π′ := π_{M_{s}}

e_{s} := \{ \begin{matrix}1 & if L/K ：不分岐, s = 0 \\ q^{s−1}(q + 1) & if L/K ：不分岐, s ≥ 0 \\ 2q^{s} & if L/K ：分岐 \end{matrix}

F′_{/A′} ： G の level s の quasi-canonical lift for (κ, λ = id) A′_{n} := A′/(π′)^{n}, F′_{n} := F′ ⊗_{A′} A′_{n} (i.e. F_{0} = G) このとき,

O_{s} = End(F′) ⊆ ⋯ ⊆ End_{A′_{n}}(F′_{n}) ⊆ End_{A′_{n−1}}(F′_{n−1}) ⊆ ⋯ ⊆ End_{k}(F′_{0}) = O_{D}

であるので, f_{0} ∈ O_{D} = End_{k}(G) がどの End(F′_{n}) にまで入るのか (i.e. f_{0} : G → G がどの f_{n} : F′_{n} → F′_{n} にまで lift するか) を調べたい.

k ∈ ℤ_{≥−1} に対し, a(k) := \frac{(q^{k}−1)(q+1)}{q−1} とおく.

定理 1.1 (Keating) f_{0} ∈ (O_{s} + Π_{D}^{l}O_{D}) \ (O_{s} + Π_{D}^{l+1}O_{D}) (l ≥ 0) だとする. このとき,

f_{0} ∈ End(F′_{n_{l}−1}) \ End(F′_{n_{l}}).

但し,

\{ \begin{matrix}a(\frac{l}{2}) + 1 & if l ≤ 2s かつ l ：偶数 \\ a(\frac{l−1}{2}) + q^{\frac{l−1}{2}} + 1 & if l ≤ 2s かつ l ：奇数 \\ a(s − 1) + q^{s−1} + e_{s}(\frac{l+1}{2} − s) + 1 & if l ≥ 2s + 1 \end{matrix}
□

注 1.2 l = 2s − 1 または, l = 2s かつ L/K が分岐, の場合は三番目の式も成立する.

2 局所交点数の計算

(L, Q) ⊆ (O_{D}, Nrd) ： ℤ_{p} 上の anisotropic, ternary quadratic space

(L, Q) の Gross-Keating invariant を (a_{1}, a_{2}, a_{3}), optimal basis を (ψ_{1}, ψ_{2}, ψ_{3}) と書く.

R = W [[t, t′]] ： G の universal deformation ring ≅ W [[t]] の二階直積, S := Spec(R)

I_{i} = (h_{i}) ： R における ψ_{i} の lifting locus (単項イデアルになることを示した). これが定める Spec(R) の divisor を T_{i} とおく.

α(Q) := lg_{W} (R/I_{1} + I_{2} + I_{3}) = (T_{1}.T_{2}.T_{3})_{S} (intersection product)

このとき,

定理 2.1 (定理 B1)

α(Q) = \{ \begin{matrix}1 & if (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (0, 0, 1) \\ 2 & if (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (0, 1, 1) \end{matrix}

定理 2.2 (定理 B2) ψ_{3} = pψ′_{3}, ψ′_{3} ∈ End_{k}(G), と書けるとすると,

(T_{1}.T_{2}.T_{3})_{S} = (T_{1}.T_{2}.T′_{3})_{S} + (T_{1}.T_{2}.V (p))_{S}.

ここで V (p) = Spec(R/p), T′_{3} は ψ′_{3} の lifting locus.

定理 2.3 (定理 B3) a_{1} ≡ q_{2} (2) なら,

(T_{1}.T_{2}.V (p))_{S} = ∑_{i=0}^{a_{1}−1} 2(i + 1)p^{i} + ∑_{i=a_{1}}^{\frac{1}{2} (a_{1}+a_{2}−2)} 2(a_{1} + 1)p^{i} + (a_{1} + 1)p^{\frac{a_{1}+a_{2}}{2}} .

a_{1} ≢ q_{2} (2) なら,

(T_{1}.T_{2}.V (p))_{S} = ∑_{i=0}^{a_{1}−1} 2(i + 1)p^{i} + ∑_{i=a_{1}}^{\frac{1}{2} (a_{1}+a_{2}−1)} 2(a_{1} + 1)p^{i}.

定理 B は, a_{1} + a_{2} + a_{3} に関する induction で, 上の定理 B1〜定理 B3 に帰着されていた. lifting theorem を使うと, 定理 B1 と定理 B2 を示すことが出来る. 定理 B3 は Spec(k[[X, Y]]) 上の二つの divisor の intersection product を求める問題だが, 体 k 上の話なので deformation とは関係なく計算できる (modular curve の reduction に関する Kummer congruence の帰結).